Was (wer) ist Волновой пакет - definition

Волновой пакет (цуг волн)— определённая совокупность волн, обладающих разными частотами, которые описывают обладающую волновыми свойствами формацию, в общем случае ограниченную во времени и пространстве. Так, в квантовой механике описание частицы в виде волновых пакетов способствовало принятию статистической интерпретации квадрата модуля волновой функции.

Произвольная отдельная волна ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)}$ как функция радиус-вектора ${\displaystyle \mathbf {r} }$ и времени ${\displaystyle t}$ описывается выражением

${\displaystyle {{\psi }({\mathbf {r} },t)}={A}~{\exp {(-i({\omega }t-{\mathbf {k} }{\mathbf {r} }))}}={A}~{\exp {\frac {-i(Et-{\mathbf {p} }{\mathbf {r} })}{\hbar }}}}$

где ${\displaystyle i}$ — мнимая единица, ${\displaystyle E}$ — энергия, переносимая волной, ${\displaystyle \hbar }$ — приведённая постоянная Планка, ${\displaystyle p}$ — импульс, переносимый волной, ${\displaystyle \omega }$ — её циклическая частота (обычная частота, умноженная на ${\displaystyle 2\pi }$), ${\displaystyle k}$ — волновое число (определяемое как ${\displaystyle k={\frac {2{\pi }}{\lambda }}={\frac {p}{\hbar }}}$; здесь ${\displaystyle c~-}$ скорость света).

Для волнового описания отдельной частицы, обладающей массой покоя, необходимо просуммировать некоторое количество волн, обладающих близкими частотами,— и в таком случае волновая функция ${\displaystyle \psi (r,t)}$ будет заметно отлична от нуля лишь в некоторой, сравнительно небольшой области пространства. Получится волновой пакет.

Образуем волновой пакет из суперпозиции (набора) плоских волн, для которых волновое число ${\displaystyle k}$ изменяется от ${\displaystyle k_{0}-{\frac {\Delta k}{2}}}$ до ${\displaystyle k_{0}+{\frac {\Delta k}{2}}}$ (для простоты предположим, что на имеющем основное значение интервале амплитуды остаются постоянными и равными ${\displaystyle {\frac {A}{\Delta k}}}$):

${\displaystyle \psi (r,t)={\frac {A}{\Delta k}}\int \limits _{k_{0}-{\frac {\Delta k}{2}}}^{k_{0}+{\frac {\Delta k}{2}}}\exp {\big (}-i(\omega t-kr){\big )}\,dk=\sum J_{n}\psi _{n}}$

где теперь ${\displaystyle \psi (r,t)}$ обозначает результирующую волновую функцию, а величины ${\displaystyle J_{n}}$ обозначают вклады волн ${\displaystyle \psi _{n}}$, из которых образован пакет, в результирующую волну, причем ${\displaystyle \sum J_{n}^{2}=1}$.